Membahas mengenai irisan kerucut menjadi bagian penting dalam materi pelajaran matematika. Mungkin sebelumnya Anda telah mempelajari tentang persamaan kuadrat.
Apabila melihat dari bentuk umum persamaan kuadrat tentu menemukan banyak keunikan. Terutama berdasarkan dari penggunaannya untuk materi tentang irisan bangun ruang kerucut.
Setelah mengenali tentang persamaan kuadrat, pastinya harus mempelajari juga soal bangun kerucut itu sendiri. Termasuk mengenai semua jenis irisan kerucut di bawah ini.
Pengertian Irisan Kerucut
Irisan kerucut adalah lokus dengan bentuk kurva dua dimensi sebagai irisan bangun ruang kerucut.
Irisan ini juga dapat menjadi suatu kumpulan titik-titik dengan perbandingan jarak sama dari titik tertentu di dalamnya.
Pastinya terdapat jenis irisan kerucut seperti lingkaran, hiperbola, parabola hingga elips. Meski begitu mempelajari tentang hiperbola, parabola atau elips sudah cukup. Berikut ini adalah gambaran dalam irisan kerucut.
Selain itu selanjutnya kita akan mempelajari soal contoh penerapan dari irisan kerucut.
Contoh Penerapan Irisan Kerucut
Untuk berbagai objek atau benda yang bisa kita temukan sehari-hari terbilang banyak dari bentuk irisan kerucut.
Berbagai objek ini misalnya antena parabola yang memang bentuknya seperti parabola. Lalu ada lintasan planet tata surya yang mirip elips. Selain itu contoh penting lainnya, lebih jelasnya ada dalam penjelasan berikut.
-
Parabola
Pastinya banyak orang telah mengenali parabola dalam kehidupan nyata. Sementara itu dalam matematika berarti kumpulan beberapa titik dengan jarak. Lalu titik tersebut bersama titik fokusnya sama pada jarak titik terhadap garis direktris.
Cobalah memahami parabola dengan gambar berikut!
Apabila menerapkan konsep jarak, kemudian memperoleh:
|PF| = √((x – p)2 + (y – 0)2) = √((x – p)2 + y2)
|PQ| = √((x + p)2 + (y – y)2) = √(x – p)2
Disebabkan |PF| = |PQ|, artinya hubungan tersebut menjadi:
√((x – p)2 + y2) = √(x – p)2
(x – p)2 + y2 = (x – p)2
x2 – 2px + p2 + y2 = x2 + 2px + p2
y2 = 4px
Selanjutnya memperoleh persamaan parabola yang punya titik puncak berupa O(0,0) dengan titik focus F(p, 0) adalah y2 = 4px.
Kemudian akan menjelaskan juga tentang hiperbola.
-
Hiperbola
Hiperbola adalah suatu himpunan beberapa titik dengan selisih jarak pada dua titik api atau fokusnya sama. Cobalah memperhatikan gambar hiperbola berikut!
Keterangannya:
- Fokus atau titik api adalah F1 (-c, 0) dan F2 (c, 0).
- Pusat hiperbola yakni O (0, 0), artinya OF1 = OF2.
- Sumbu simetri dilengkapi dengan sumbu simetri utama antara lain sumbu X dan sumbu sekawan berupa Y.
- Sumbu nyatanya adalah AB = 2a.
- Sumbu imajinernya adalah CD = 2c.
Kemudian kita akan mempelajari juga tentang elips.
-
Elips
Sudahkah Anda mengetahui tentang elips pada irisan kerucut?
Elips sendiri merupakan himpunan beberapa titik yang harak tiap titik pada dua titiknya dan bukan elemen himpunan yakni tetap. Jumlahnya artinya juga tetap pada elips.
Untuk gambar berikut ini memiliki titik fokus atau titik api berupa F1 dan F1. Kemudian jumlah jarak tetapnya yakni 2a (a > 0). Lalu jarak F1 beserta F2 yakni 2c, berikut gambarnya:
Keterangan:
- Titik focus elips tersebut adalah F1 (-c, 0) dan F2 (c, 0).
- Titik pusat elips adalah O (0, 0).
- Sumbu minor yakni di mana sumbu melewati pusat dan tegak lurus pada sumbu mayor.
- Sumbu mayor yakni di mana sumbu melewati focus F1 dan F2.
- Sumbu sekawan atau conjugate axis yakni garis sumbu F1F2.
- Sumbu utama atau transvers axis yakni sumbu x.
Selain itu secara umumnya, persamaan elips bisa kita tuliskan menggunakan cara:
(x – p)²/a² + (y – q)²/b² = 1
Keterangan:
- (p, q) : koordinat titik pusat elips.
- a : ½ x Panjang sumbu mayor.
- b : ½ x Panjang sumbu minor.
Selanjutnya kita akan belajar materi lanjutan soal rumus irisan kerucut.
Rumus Irisan Kerucut
Jika membahas tentang irisan kerucut, tentunya terdapat rumus bisa Anda pakai. Baik parabola, hiperbola atau elips punya perbedaan yang cukup jelas.
-
Rumus Parabola
Persamaan parabola pada titik puncak O adalah (0, 0).
Parabola jika terbuka ke kanan adalah y2 = 4px
Parabola jika terbuka ke kiri adalah y2 = -4px
Parabola jika terbuka ke atas adalah x2 = 4py
Parabola jika terbuka ke bawah adalah x2 = -4py
-
Rumus Hiperbola
Persamaan suatu hiperbola yang pusatnya O (0, 0).
Hiperbola jika terbuka ke atas dan ke bawah, artinya:
x²/a² – y²/b² = 1
Hiperbola jika terbuka ke kanan dan ke kiri, artinya:
y²/a² – x²/b² = 1
Keterangan:
a : ½ x Panjang sumbu nyata.
b : ½ x panjang sumbu imajiner.
-
Rumus Elips
Persamaan irisan kerucut elips dengan pusat O (0,0).
Sumbu mayornya jika berhimpit pada sumbu-x:
x²/a² + y²/b² = 1 dengan a > b
Sumbu mayornya jika berhimpit pada sumbu-y:
x²/b² + y²/a² = 1
Keterangan:
a : ½ x Panjang sumbu mayor.
b : ½ x Panjang sumbu minor.
Keunikan dalam parabola, hiperbola maupun elips menarik untuk dipelajari. Pastinya dalam bangun ruang ini juga ada benda yg berbentuk kerucut. Tidak kalah pentingnya juga dipelajari untuk memahami kerucut.
Contoh Soal Irisan Kerucut
Supaya memahami lebih lanjut tentang materinya, kerjakan juga contoh soal irisan kerucut berikut:
- Ditemukan suatu elips yang memiliki pusat O (0, 0), salah satu fokusnya ada pada (0, 3). Kemudian sumbu mayornya yakni 10. Cobalah tentukan persamaan elips ini!
Jawaban:
Pusat (0, 0). Fokus (0, 3) à c = 3.
Panjang sumbu mayornya 2a = 10 à a = 5
a² = 25
b² = a² – c² à b² = 25 – 9 = 16.
Persamaan elips adalah x²/16 + y²/25 = 1
- Coba tentukan titik pusat, titik focus, hingga titik puncak hiperbola yang persamaannya adalah y² – 2x² = 8.
Jawaban:
Persamaan hiperbola y² – 2x² = 8 akan diubah jadi y²/8 – x²/4 = 1.
a² = 8 à a = 2√2
b² = 4 à b = 2
c² = a2 + b2 à c = √(8 + 4) = √12 = 2√3
Titik pusatnya adalah pada O (0, 0).
Titik fokusnya adalah (0, -c) = (0, -2√3) dan (0, c) = (0, 2√3).
Titik puncaknya adalah (0, -a) = (0, -2√2) dan (0, a) = (0, 2√2)
- Ditemukan suatu persamaan parabola adalah y² = 8x. Coba tentukan titik focus beserta titik puncak parabola dengan benar!
Jawaban:
Persamaan y² = 8x, sehingga p = 2.
Koordinat titik fokusnya adalah (2, 0).
Koordinat titik puncak adalah (0, 0).
Mari kita simpulkan materi irisan kerucut yang sudah kita pelajari.
Kesimpulan
- Irisan kerucut adalah suatu lokus dengan bentuk kurva dua dimensi. Kemudian dijadikan sebagai irisan bangun kerucut tersebut.
- Irisan kerucut antara lain lingkaran, hiperbola, parabola hingga elips.
- Hiperbola yakni himpunan beberapa titik yang memiliki selisih jarak pada dua titik apinya. Jarak fokus atau titik apinya sama.
- Parabola yakni kumpulan beberapa titik dengan jarak titiknya pada titik fokus sama. Kemudian jarak titik ini pada garis direktisnya juga sebanding.
- Elips yakni himpunan beberapa titik yang punya jumlah harak tiap titik pada dua titik fokusnya bukan merupakan elemen himpunan yakni tetap.
Banyak fakta menarik ditemukan pada bangun ruang kerucut sehingga menarik dibahas. Itulah bahasan lengkap soal irisan kerucut.