Mempelajari induksi matematika sebagai materi penting terbilang harus Anda kuasai dari dasarnya. Khususnya karena matematika menjadi ilmu penting dalam kehidupan. Bahkan bisa melatih kreativitas hingga pemikiran yang kritis.
Pelajaran berhubungan dengan induksi matematika semakin krusial untuk dipelajari. Khususnya dimanfaatkan membantu memasukkan data dalam program. Contohnya mencoba membangun program komputer hingga teknologi ATM.
Apabila melihat dari buku dengan judul Explore Matekatika maupun buku sejenis telah menjelaskan. Khususnya dalam rangka memanfaatkan induksi matematika dalam bidang komputer. Nantinya program yang dihasilkan selalu cocok.
Sementara itu jika program kemudian memberikan pesan eror, artinya ada kesalahan dalam memasukkan data. Supaya tidak ada kesalahan, artinya Anda harus mempelajarinya. Khususnya pengertian maupun sejarah penggunaannya.
Pengertian Induksi Matematika
Induksi matematika adalah suatu metode pembuktian untuk dimanfaatkan dalam penentuan kebenaran. Metodenya yakni dari sebuah pernyataan yang diberikan dengan bentuk bilangan asli.
Bukan hanya itu, dapat kita artikan juga menjadi cara pembatalan hingga pernyataan matematika. Nantinya akan memanfaatkan rumus sebagai metode membuktikan pernyataan tertentu.
Metode yang terdapat di dalamnya menjadi penalaran deduktif sehingga berhubungan dengan pembuktian matematika. Apalagi untuk matematika dimanfaatkan sebagai dasar aksioma pada banyak teorema bilangan asli.
Pembuktian yang diberikan pada pernyataan sistematis pada induksi matematika dilaksanakan pada objek matematika. Tentu harus punya sifat diskrit. Misalnya adalah teori graf atau teori bilangan.
Sebenarnya banyak matematikawan memanfaatkannya dalam menjelaskan pernyataan matematis. Khususnya yang telah dipahami kebenarannya selama ini. Prinsipnya dijelaskan umum pada langkah awal yakni asumsi induktif maupun induksi dasar.
Dalam cara memanfaatkannya sebenarnya akan menemukan tiga buah masalah umum. Misalnya seru umum, ketidaksetaraan hingga habis membagi dua. Dalam membuktikan, tentu dipakai pada konsep dan pemahaman relasional.
Langkah Induksi Matematika
Apabila p(n) merupakan pernyataan yang memiliki variabel bebas n maupun n yakni bulangan bulat positif. Artinya membuktikan p(n) benar harus menggunakan langkah berikut:
Perlihatkan jika p(1) benar.
Contohnya p(n) benar pada semua bilangan bulat positif dengan n ≥ 1.
Perlihatkan jika p(n+1) benar.
Supaya lebih banyak memahaminya tentu ada baiknya untuk belajar sejarah hingga rumusnya. Begitu juga berkaitan dengan jenis-jenis yang ada di dalamnya. Tentu sebelum memasuki tahapan contoh soal sudah paham materinya.
Sejarah Pemanfaatan Induksi Matematika
Teorema matematika dasarnya yakni pada sekumpulan definisi maupun aksioma. Tentu pembuktian semua teorema ini dengan cara memanfaatkan aksioma hingga definisi. Tapi bisa juga menggunakan teorema yang kebenarannya terbukti.
Sebenarnya teorema dalam matematika bisa berasal dari eksperimen yang belum terbukti. Kemudian matematika tidak mampu menerima argumentasi tersebut. Semua pernyataan matematis benar kalau sudah melalui observasi atau eksperimen.
Konjektur fermat telah dibuktikan oleh Pierre de Fermat. Di mana persamaan tidak bisa membuat bilangan bulat positif dengan sembarangan bilangan bulat melebihi dua buah. Bahkan membutuhkan tiga abad dalam membuktikannya.
Pembuktian contoh pemanfaatan induksi matematika dengan konjektur fermat ditulis Andrew Willes. Kemudian sejarah pemakaiannya dijelaskan Bussy (1997). Tentu menjelaskan prosesnya pertama kali dipakai D. Franciscus Maurolicus.
Maurolicus memanfaatkan dengan cara membuktikan bilangan ganjil akan terbentuk berturut-turut dengan menambah dua bilangan ganjil pertama berupa 1. Bukti lain yang diberikan yakni jumlah n dan bilangan ganjil adalah kuadrat n.
Sebenarnya istilah penggunaan induksi matematika pertama kali dipakai oleh John Wallis pada 1956. Tentu terdapat dalam bukunya dengan judul Arithmetica Infitorum. Wallis memilih dengan cara menyebut per modum inductions.
Pada 1836 diperkenalkan istilah pada publik oleh Agustus de Morgan. Kemudian pada 1889, Giusseppe Peano juga melakukan perumusan prinsipnya. Khususnya pada 5 aksioma berbeda yang memiliki berbagai definisi tentang bilangan asli.
Jenis Induksi Matematika yang Penting Dipelajari
Faktanya terdapat berbagai jenis permasalahan matematis akan ditemukan. Kita bisa menyelesaikan memanfaatkan metode induksi matematika tanpa masalah. Tentu akan dibedakan menjadi tiga jenis yaitu pembagian, deret dan pertidaksamaan.
-
Pembagian
Jika membahas tentang jenis pembagian dapat ditemukan dengan berbagai jenis soal. Kita bisa memanfaatkan beberapa kalimat berikut ini:
A habis kalau terbagi B.
B akan membagi A.
B merupakan faktor A.
A merupakan kelipatan B.
Berdasarkan keempat ciri yang telah ditemukan, tentu menjadi bentuk yang bisa diselesaikan dengan induksi matematika pembagian.
Tapi harus mengingat jika bilangan A habis terbagi B, artinya A = B.M di mana M yakni bilangan bulatnya.
Sementara itu jika p habis terbagi a maupun 1 habis dibagi a, artinya (p + q), artinya juga habis terbagi a.
-
Deret
Khusus untuk jenis deret sebenarnya banyak dimanfaatkan dalam soal induksi matematika. Apalagi kalau kita menemukan bentuk penjumlahan beruntun.
Artinya pada persoalan deret ini harus dibuktikan dulu bagaimana kebenaran suku pertama maupun terakhirnya yakni suku ke (k+1).
Kemudian deret juga dilengkapi dengan beberapa hal yang cukup krusial, perhatikan berikut ini:
P()n : u1 + u2 + u3 + … + un = Sn, artinya:
P()n : u1 = S1
P()n : u1 + u2 + u3 + … + uk = Sk
P(k+1) : u1 + u2 + u3 + … + uk + uk+1 = Sk+1
Setelah melihat prinsipnya dalam u1 + u2 + u3 + … + uk + uk+1 = Sk+1, kemudian dibuktikan kalau p(n) adalah benar. Khususnya pada setiap n bilangan aslinya.
-
Pertidaksamaan
Berhubungan dengan pertidaksamaan pastinya menjadi bentuk menarik. Tentu memiliki tanda lebih dari maupun kurang dari berdasarkan setiap pernyataan.
Selain itu dilengkapi dengan berbagai sifat yang dimanfaatkan saat menyelesaikan induksi matematika. Inilah beberapa sifat yang dipakai:
a > b > c ⇒ a > c atau a < b < c ⇒ a < c
a < b dan c > 0 ⇒ ac < bc atau a > b dan c > 0 ⇒ ac > bc
a < b ⇒ a + c < b + c atau a > b ⇒ a + c > b + c
Mempelajari tentang induksi memang menarik dan penting. Dalam matematika, pastikan juga untuk menguasai tentang pertidaksamaan linear. Apalagi punya konsep tidak kalah menarik dan akan menjadi pengetahuan yang berharga.
Konsep Induksi Matematika Dalam Kehidupan
Konsep dasar yang dapat ditemukan pada induksi matematika contohnya saat seseorang meletakkan domino dengan deret panjang. Selain itu ada yang menjatuhkan domino pertamanya menuju ketiga.
Kemudian untuk domino ketiga, keempat, kelima maupun seterusnya juga akan ikut jatuh.
Pada dasarnya konsep dasar ini banyak juga yang menyebutkan sebagai efek domino. Penyebabnya karena bisa digunakan membuktikan maupun menguji rumusnya. Tapi harus memastikan agar benar semua bilangannya yakni bilangan asli.
Misalnya jika terdapat satu deret bilangan asli 1,2,3,4,5,…, n. Artinya jumlah deret bilangan (Sn) pada n = 3 yakni 1+2+3 = 6. Sementara itu n= 4, S4 = 1+2+3+4 = 10. Sedangkan n = 5, S5 = 15.
Berdasarkan pola yang telah keluar tersebut artinya kalau dijumlahkan mulai dari 1 sampai n, Selanjutnya memperoleh rumus pembuktian atau menghitungnya.
Meski begitu perlu diketahui sebelumnya kalau masalahnya rumus ini berlaku secara keseluruhan atau pada beberapa kasus saja. Pembutikan efek domino ternyata dibutuhkan.
Jika ternyata domino yang pertama jatuh, artinya domino kedua dan seterusnya harus terus berlanjut. Sementara itu berdasarkan prinsip, selanjutnya bisa dibahasakan dengan:
Langkah dasar : untuk n = 1, rumus S1 dibuktikan benar.
Step induksi : Apabila rumusnya benar pada n = k, artinya rumus ini benar pada n = k+1, tentu pada k>1.
Sementara itu kalau mengacu efek domino, artinya harus memasukkan pada n= 1 rumus Sn. Hasilnya antara lain n = 1 menjadi benar. Langkah yang perlu dilakukan yakni menguju dengan memasukkan n = k pada Sn.
Selanjutnya pada stek induktif jika n = adalah benar, tentu n = k+1 juga benar. Kemudian bisa memasukkan n = k+1 pada rumus sehingga menemukan rumus:
Sk = 1 + 2 + 3 + … + k
Sk+1 = 1 + 2 + 3 + … + k + (k+1)
Rumus Induksi Matematika dan Pembahasan
Berdasarkan pembahasan pastinya bisa mengetahui juga tentang rumusnya. Tentu selain pembahasan sebelumnya juga menjadi bagian yang penting Anda pelajari. Berikut ini rumus dalam menentukan suatu induksi matematika:
n = 1 digunakan sebagai penunjuk pernyataan benar.
n = k digunakan sebagai asumsi pernyataan benar.
n = k + 1 digunakan sebagai penunjuk pernyataan benar.
Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawaban
Berdasarkan berbagai materi yang telah ditemukan tentu sudah saatnya Anda untuk mencoba soal. Tujuannya sebagai pembuktian sampai sejauh mana pemahaman dalam materi. Berikut ini contoh soal induksi matematika dan jawabannya:
- Cobalah menunjukkan jika jumlah dari n bilangan bulat ganjil positif pertama merupakan n²:
Jawaban:
Bentuk persamaan : 1 + 3 + 5 + … + (2n–1) = n²
Bisa menunjukkan kalau p(1) benar
Jika n = 1, artinya:
1 = n2 = 12 = 1
Jika p(n) benar pada n ≥ 1, artinya:
1 + 3 + 5 + … + (2n–1) = n² benar
Akan terbukti kalau p(n+1) benar, yakni:
1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = (n+1)²
Pembuktian:
1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = n² + (2(n+1)–1)
1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = n² + 2n + 2 – 1
1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = n² + 2n + 1
1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = (n+1)(n+1)
1 + 3 + 5 + … + (2n–1) + (2(n+1)–1) = (n+1)² (terbukti)
Jadi, sudah terdapat bukti kalau 1 + 3 + 5 + … + (2n–1) = n² pada n bilangan bulat positif.
- Cobalah membuktikan kalau jika 3²n + 22^n + 2 akan habis kalau dibagi bilangan 5.
Jawaban:
Untuk langkah membuktikan, alangkah baiknya untuk menerapkan berbagai tahapan mulai dari:
Langkah Pertama
32(1) + 22(1)+2 = 32 + 24 = 9 + 16 = 25, jadi akan habis dibagi 5. Hal ini terbukti.
Langkah Kedua memanfaatkan 2 (n = k)
32k + 22k + 2
Langkah Ketiga ( = k + 1)
= 32(k+1) + 22(2k+2)
= 32k+2 + 22k+2+2
= 32(32k) + 22(22k+2)
= 10(32k) + 5(22k+2) – 32k – 22k+2
= 10 (32k) + 5 (22k+2) – (32k + 22k+2)
Diperoleh:
10 (32k) telah habis terbagi 5, 5(22k+2) telah habis terbagi 5 dan –(32k) + 22k+2 juga telah habis terbagi 5.
Setiap bilangan bulat tidak negatif n, buktinya kalau memanfaatkan induksi matematika berupa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1.
Cobalah mencari tahu basis induksi dulu yakni 20 = 20+1 – 1. Artinya begitu jelas kalau 20 = 1
Apabila p(n) benar, artinya 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 adalah benar, maka artinya p(n+1) juga benar: 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 juga benar, kemudian menunjukkan bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = (20 + 21 + 22 + … + 2n) + 2n+1 = (2n+1 – 1) + 2n+1 (hipotesis induksi).
= (2n+1 + 2n+1) – 1
= (2.2n+1) – 1
= 2n+2 – 1
= 2(n+1)+1 – 1
Selanjutnya telah dibuktikan bahwa semua bilangan bulat tidak negatif n, terbukti yakni 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1.
- Coba membuktikan induksi 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n².
Jawaban:
P(n) = 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n². Artinya bisa menggambarkan P(n) benar untuk semua n N.
Langkah Pertama
Untuk yakni dengan cara menunjukkan bahwa p(1) merupakan benar 1 = 12. Jadi, p(1) juga benar.
Langkah Induksi
Berikutnya, kita diwajibkan untuk menerapkan langkah induksi. Anda harus menggambarkannya jika P(k) merupakan benar, yakni:
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k², k N
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + 2(k + 1) – 1) = (k + 1)2
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k²
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = k² + (2(k + 1) – 1)
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = k² + 2k + 1
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2(k + 1) – 1) = (k + 1)2
Berdasarkan uraian ini, kita akan mengetahui kalau p(n) merupakan benar pada semua n dari bilangan aslinya.
Pastinya Anda sudah mengetahui lebih lanjut soal induksi mulai dari pengertian atau sejarah. Bahkan ditambah juga dengan konsep dasar maupun berbagai macam jenisnya. Tentu sebagai pembuktian pernyataan maupun rumus yang ditemukan.
Secara lebih jelasnya yakni bisa dipakai menurunkan atau menentukan berbagai rumus. Cara termudah menemukan prinsipnya yakni saat memperhatikan suatu efek domino. Apalagi digunakan sebagai konsep dasar penggunaan induksi matematika.
Tentunya harus memastikan untuk mempelajari lebih lanjut setiap materi di dalamnya. Tidak boleh sampai ketinggalan satu materipun supaya lebih paham. Bahkan disarankan juga untuk memahami tentang informasi dari contoh soal.
Memahami tentang contoh soal akan semakin menguatkan kemampuan Anda untuk berhasil paham. Pastikan untuk meningkatkan kemampuan dan pengetahuan. Tentu mempelajari soal induksi matematika termudah sampai tersulit akan membantu.